AUTOMOBILISMO – Curvas III

No dois tópicos anteriores (Curvas I e Curvas II) foram mostradas as teorias para um veículo contornar uma curva. Vamos, agora, a um exemplo prático:

O autódromo de Daytona Internation Speedway é um dos mais famosos dos Estados Unidos da América. Ele tem o formato tri-oval com 2,5 milhas de comprimento. Suas duas maiores curvas possuem o raio de 300 metros e uma inclinação de 31º em relação à horizontal.

Sabendo que o coeficiente de atrito estático dos pneus usados nos carros da Nascar é de 0,7 , calcule as velocidades máximas  de contorno da curva mostrada acima para os três casos (adote g= 9,8[m/s²]):

1. A velocidade máxima, independente da inclinação da pista;
2. A velocidade máxima, independente do atrito dos pneus com o asfalto;
3. A velocidade máxima de contorno, levando em consideração a inclinação e o atrito;

Em todos os casos o veículo não pode se desgarrar do asfalto, então o coeficiente de atrito usado sempre será o estático.

Resoluções: Para todas as resoluções, podemos partir da equação geral calculada no final do tópico Curvas II:

(1)

Esta será nossa equação principal.

Vamos às contas:

Para resolvermos o primeiro exemplo, basta substituirmos o valor de θ por zero e colocar o valor de μ, que é o coeficiente de atrito, indicado no texto. Esta será a velocidade máxima que o veículo poderia ter para contornar uma curva plana e horizontal sem se desgarrar do asfalto.

Para o segundo caso podemos substituir o valor de  μ por zero e no lugar de  θ inserir o valor de 31º. desta forma, toda a aceleração centrípeta será por conta da inclinação da curva:

E para o terceiro e último caso, que é o mais completo, basta inserirmos todos os dados na expressão (1):

Abaixo segue um arquivo de Excel para calcular as velocidades máximas. Insira os dados do raio da curva, ângulo de inclinação e coeficiente de atrito entre o pneu e o asfalto para obter as velocidades para os três casos acima.

Velocidades Máximas

Sugestão: Por curiosidade compare vários ângulos de inclinação e suas velocidades máximas. Veja o que acontece quando uma curva é subelevada, ou seja, quando a parte externa da curva tem altura menor do que a parte interna (isso é o mesmo que colocar um ângulo negativo no lugar de θ ).

AUTOMOBILISMO – Curvas II

Aumentando a velocidade de contorno de uma curva

No tópico anterior, obtivemos uma expressão que nos mostra a velocidade máxima de contorno de uma curva feita por um veículo. Mas como podemos fazer um carro ir ainda mais rápido?

Lembrando:

(1)

(2)

Se isolarmos a variável v temos:

(3)

Para aumentarmos a velocidade de contorno devemos aumentar os valores dos termos do numerador de dentro da raiz, ou diminuir o valor do denominador.

• O valor de μ corresponde ao coeficiente de atrito entre o pneu e o asfalto. Para aumentarmos devemos mudar o asfalto (colocando um mais abrasivo), ou mudando o composto dos pneus (uma borracha mais mole, por exemplo).
• A normal N é a reação normal do piso. A normal nem sempre apresenta o valor do produto da massa pela gravidade ( m . g ). Podemos aumentá-la, sem aumentar a massa, incluindo ( ou aumentando) o “downforce”, que é a força no sentido vertical para baixo, gerada pelos apetrechos aerodinâmicos dos carros (spoilers frontais, aerofólios, fundo plano etc).
• O raio r da curva pode ser aumentado, ou até mesmo o contorno com o raio r maior, como visto anteriormente.
• A massa m deve ser mantida o mais baixa possível (o que, juntamente com o coeficiente de atrito entre o pneu e o asfalto, ajuda não somente em curvas, mas em acelerações e desacelerações).

(Aqui, diferente do que foi apresentado no tópico anterior, está de uma forma mais geral, incluindo a massa do veículo e a reação do piso N. Esta forma é necessária quando é utilizado elementos que aumentam a força de reação Normal – uso de aerofólios, por exemplo) 

Além dessas condições pode-se, também, sobrelevar uma curva, de tal forma que a parte externa da curva seja mais alta que a parte interna, isto faz com que o plano da curva forme um ângulo com o plano horizontal. Acompanhe:

Curva Sobrelevada

Adotaremos que o eixo Y é o eixo vertical, positivo para cima; e o eixo X é horizontal, positivo para a direita.

Agora, observe o desenho esquemático abaixo:

 

Neste caso, temos um perfil de uma curva inclinada para a direita, com a parte externa da curva elevada em relação à parte interna.

Desenhando o diagrama de forças que atuam neste caso, temos:

• Caso 1 – Sem atrito:

Supondo que o carro esteja contornando a curva sem se desgarrar do solo, ou seja, sem “subir” ou “descer” a curva, temos que a soma das forças no eixo Y é nula. Então, a componente N_y é sempre igual, em valor, ao peso P. E, no eixo X, o que causa a mudança no sentido do movimento é a componente N_x :

(4)

(5)

Observamos na imagem acima que a força que faz com que o carro efetue a curva de raio R é a componente N_x. Sendo assim, temos:

(6)

Da expressão (12) podemos ter a velocidade máxima devido apenas à inclinação da pista, desconsiderando o atrito e levando em consideração apenas a inclinação da curva:

(7)

•  Caso 2 – Com atrito:

(Note que a força de atrito resultante e suas componentes estão representadas em um pneu, porém é apenas para melhorar a visualização. A força de atrito resultante poderia estar representada, apenas, no centro de massa do carro)

Para começarmos este caso, explicitamos o sistema de forças resultantes:

(8)

(9)

Agora, em seguida, os sistemas das forças das componentes das forças normal e força de atrito:

(10)

(11)

(12)

(13)

Do sistema composto por (8) e (9),sabendo das equações (10), (11), (12), (13), juntamente com o produto P = m . g, podemos, depois de um pequeno malabarismo algébrico, chegar na expressão:

(14)

Faça aqui o download da explicação dos cálculos.

No próximo tópico: um exemplo prático!

AUTOMOBILISMO – Curvas I

No cotidiano e nas corridas sabemos que se tentarmos fazer uma curva rápidos demais o veículo não conseguirá contorná-la.  Por isso há a necessidade, muitas vezes, de frear antes de uma curva. Também percebemos que quanto mais fechada a curva (ou seja, menor o raio) , menor deverá ser a velocidade para conseguir contornar a curva.

Então, como saber a velocidade máxima de cada curva? Quais parâmetros que a delimitam? E como explicar tudo isso?

Primeiramente devemos entender o que é a força centrípeta.

Lembrando que Força Resultante é um conceito fundamental da física newtoniana. A força é responsável por mudar o módulo (valor), direção e/ou sentido de um movimento (1ª Lei de Newton). Uma força centrípeta é aquela que é responsável por mudar a trajetória de forma que o corpo que recebe esta força descreva uma trajetória circular.

As expressões que relacionadas a movimento circular:

• θ é o ângulo do arco de circunferência;
• ω é a velocidade angular;
• γ  é a aceleração angular;
• r é o raio da circunferência.

A expressão da Força Centrípeta é:

(1)

Onde m é a massa do corpo e a_cp é a aceleração centrípeta.

Substituindo as expressões encontradas na tabela acima na expressão (1), temos:

(2)

Num carro, andando em um asfalto plano e horizontal, o que gera essa força centrípeta é a força de atrito que há entre os pneus e o asfalto.

A força de atrito é dada por:

(3)

Conforme mostrado na expressão (3), o atrito é dado pelo produto do coeficiente de atrito μ (que pode ser estático ou dinâmico) pela reação da superfície, chamada de Normal (N).

No caso de um carro efetuando um movimento circular no asfalto, o esterçar das rodas fazem com que o atrito entre o pneu e o asfalto mude a trajetória do carro (resultando em uma aceleração centrípeta):

— Uma dúvida comum entre os estudantes de nível médio em relação a exercícios envolvendo força centrípeta e atrito é que eles, por muitas vezes, procuram a força que anula a  F_cp, porém essa resultante ser diferente de zero é necessária para que o corpo descreva o movimento circular.

Sabendo, então, que a força centrípeta é causada pelas forças de atrito, temos que:

(4)

Considerando r o raio da curva, e v a velocidade do veículo:

(5)

Se a curva estiver num plano horizontal, a reação N será numericamente igual ao peso ( m . g ):

(6)

Para calcularmos a velocidade máxima do veículo, deveremos considerar quando a força de atrito seja, também, máxima (isto é: quando os pneus estiverem na iminência de desgarrarem do solo, maximizando a força de atrito estático):

(7)

• Quando não há deslizamento entre o pneu e o asfalto, usamos o  coeficiente de atrito estático μ_e.
• Se o pneu estiver se desgarrando do solo o atrito é o dinâmico μ_d, sempre menor que o estático. 

Considerações importantes:

• O valor do coeficiente de atrito, geralmente, é um valor menor que 1, mas não é regra! Há materiais que possuem μ > 1 e isso apenas quer dizer que a força necessária para mover este objeto em determinada superfície é maior do que a força normal.
• O coeficiente de atrito é adimensional e, portanto, não possui unidade.
• Em situações de pista plana e horizontal, a velocidade de contorno da curva não depende da massa do veículo.

Trajetórias:

Em corridas, pilotos procuram a melhor trajetória para efetuar a curva no menor tempo e com maior velocidade. Observe as duas trajetórias no desenho abaixo:

Podemos perceber que r₁ < r₂, desta forma o veículo poderá ir mais rápido na trajetória com maior raio. Mas, ao mesmo tempo que a velocidade pode ser maior, o trajeto também aumenta. Desta forma, o piloto deve achar um equilíbrio para tentar contornar a curva em menor tempo e sair com maior velocidade. E cada piloto se adaptará com um tipo de contorno: Alguns preferem uma entrada mais lenta e uma saída mais rápida da curva, outros preferirão uma entrada mais rápida, mas perderá um pouco de velocidade na saída da curva.

Uma possível trajetória de carro de corrida com entrada mais lenta e saída mais rápida (os ângulos estão exagerados para melhor visualização).

Exemplo prático:

Um veículo contorna uma curva circular, plana e horizontal de raio 60m. O coeficiente de atrito estatico entre os pneus e a pista é μ_e = 0,7 . Nestas condições, qual é a máxima velocidade que este veículo pode fazer a curva, sem derrapar? Considere, também, g = 9,8 [m/s²].

Utilizando a expressão (7) e os dados contidos no enunciado podemos calcular a velocidade máxima de contorno:

Num próximo post irei tratar das curvas inclinadas, como as encontradas em circuitos ovais da Nascar.

LUA

Já que o último post foi sobre satélites, deixarei disponível algumas fotos da Lua tiradas com uma máquina fotográfica Sony com o auxílio de um telescópio refletor (Newtoniano) Marca MEADE, modelo 4500.

SATÉLITES, órbitas e velocidade de escape

Satélites são corpos celestes, podendo ser naturais ou não. Em ambos os casos, eles obedecem às mesmas regras para se manterem em órbita.

Satélites são fundamentais. Os naturais (no nosso caso possuímos apenas a Lua) podem interferir no comportamento dinâmico do clima de um planeta, movimentação de massa de gases e líquidos etc.

A Lua é responsável por formar, na Terra, os ciclos das marés em nossos oceanos.

Os lançados pelo homem são de extrema importância para o atual ritmo de vida ocidental: Controlam telecomunicações, transferência digital de dados, fornecem informações topográficas, GPS e uma infinidade de outras aplicações.

Um objeto em órbita significa que ele, ao mesmo tempo que “cai” no corpo celeste o qual está orbitando, se desloca para frente. Dependendo de uma relação que envolva a distância entre o objeto e o corpo e a velocidade do objeto. Essa trajetória em volta do corpo celeste se manterá e o corpo terá um movimento perpétuo de queda e deslocamento que se compensam.

As principais leis que abrangem o estudo dos satélites são:

• Conservação de Energia;
• As 3 Leis de Newton da dinâmica (Inércia, Força e a Lei da Ação e Reação);
• Lei de Newton da Gravitação;
• Leis de Kepler (Órbitas, Áreas e Períodos);

A Conservação da energia nos diz que: a quantidade total da energia de um sistema isolado permanece constate. Ou seja: em um sistema isolado a energia pode ser transferida, ou transformada, para outra forma, dentro do mesmo sistema.

As três Leis de Newton da dinâmica nos diz que:

1. Um corpo livre da ação de forças estará em repouso ou em movimento retilíneo uniforme
2. Um corpo sofrerá uma aceleração diretamente proporcional à Força resultante aplicado sobre ele, na direção e sentido desta força. (F = m . a)
3. Toda ação em um corpo gera uma reação  com mesma intensidade, mas em sentido oposto.

A Lei da Gravitação universal de Newton nos diz que:

Onde G é a constante de gravitação universal.

Sabendo que:

Podemos igualar as expressões da Segunda Lei de Newton com a Lei da Gravitação de Newton e obtermos g, que é a aceleração da gravidade de um corpo de massa ‘M’ exerce sobre um corpo de massa ‘m’:

Órbitas

As órbitas dos satélites em volta dos planetas são circulares, ou elípticas.

• Nas órbitas circulares, a distância entre o satélite e o planeta se mantém constantes.
• Nas órbitas elípticas, a distância entre o satélite e o planeta varia.

Se observarmos as forças atuantes num diagrama de forças, vamos perceber que a interação gravitacional (a Força gravitacional) será responsável pela aceleração centrípeta, pois é a única força que atua no satélite:

Se a_cp = g, podemos obter duas expressões: Uma para a velocidade, e outra para o período do satélite:

Velocidade:

Sabendo que:

Igualamos as duas e obtemos:

Onde V é a velocidade que o satélite deve possuir para permanecer em órbita.

Período:

Também podemos obter uma expressão para o período, ou seja, o tempo que o satélite irá precisar para dar uma volta em torno do planeta.

Lembrando que as expressões que definem a aceleração centrípeta e a velocidade angular são:

Inserimos os valores de ω dentro da equação da aceleração centrípeta:

Igualando esta expressão da aceleração centrípeta com a expressão da aceleração da gravidade g:

Esta expressão do período T é a terceira Lei de Kepler. Onde K é apenas uma constante, que depende apenas do corpo de massa M, ao qual os outros objetos orbitam.

Energia cinética e Energia potencial gravitacional:

A expressão que nos diz a energia cinética de um corpo é:

Substituindo o valor para V, já encontrado acima:

Esta é a Energia cinética de um corpo, com relação às massas deste, a massa do planeta.

A energia potencial gravitacional é dada pela seguinte expressão:

E, por definição, para todos os pontos que possuem interação gravitacional, haverá uma energia potencial gravitacional maior do que aquela encontrada no infinito. Por isso a necessidade de um sinal negativo na expressão acima. O limite mostrado acima quer dizer que no infinito não há energia potencial gravitacional.

A energia mecânica do sistema é dada por:

Pontos importantes:

• A velocidade de órbita V e o período T só dependem da massa M do planeta e da distância r (raio do planeta mais altura do satélite, isto é, a velocidade e o período não dependem da massa do satélite;
• Para o sistema solar, substitui-se o M pela massa do Sol e r pelo raio da órbita de cada planeta (a constante K, no sistema solar, é a mesma para todos os planetas).

Teste de conhecimento:

Calcular a que altura um satélite deve ser lançado para que ele seja um satélite geoestacionário sobre a linha do equador(isto é: fique parado em relação a um ponto no solo). Dados:

• Raio da Terra: 6.378 [km]
• Massa da Terra: 5,97 . 10 ²⁴ kg
• Constante de Gravitação Universal G: 6,67 . 10 ^{– 11} m³ kg ^-1 s ^-2
• Rotação da Terra*: 23h 56 min e 4s

*Este é o tempo preciso da rotação da Terra.

Primeiro transformamos o tempo de rotação da Terra para segundos:

Pela expressão do período, podemos isolar o raio r da órbita circular:

Substituindo os valores e resolvendo:

Mas aqui estamos calculando a distância em relação ao centro do planeta Terra. Considerando que h é a altura do satélite e R é o raio da Terra:

Esta é a altura de uma órbita geoestacionária, ou seja: o satélite irá acompanhar um ponto fixo na superfície da Terra, caso sua velocidade tenha a mesma direção e sentido de rotação do planeta.

Velocidade de escape e velocidade de satélite rasante:

É normal pensarmos que ao atirarmos um projétil para cima este irá perder velocidade ao ganhar altura até o momento que a velocidade de subida se anule e o objeto comece a cair.

Mas há uma velocidade de lançamento de um objeto, que fará com que este consiga vencer a atração gravitacional exercida pelo planeta. Esta velocidade é chamada de velocidade de escape (na figura acima representada pela linha azul).

Para sabermos esta velocidade devemos considerar o sistema:

• Objeto na Terra:

• Objeto no infinito:

(ou seja, toda a energia cinética é utilizada para alcançar o “infinito”)

Portanto:

Substituindo os valores de M e R para os correspondentes do planeta Terra e utilizando o valor padrão de G, temos a velocidade de escape de um corpo, ou seja: se um objeto for lançado com a velocidade inicial de 11,3 [km/s], este objeto será lançado ao espaço e não retornará por conta da gravidade do planeta.

Agora se considerarmos um satélite (ou um projétil qualquer) viajando baixo, bem próximo à superfície da Terra, podemos calcular a velocidade necessária para este projétil circular o planeta sem tocar o solo (considerando que a altitude constante):

Substituindo os valores encontramos que a velocidade necessária para o voo rasante é de, aproximadamente, 8 km/s.

Leis de Kepler (enunciados):

• Primeira Lei de Kepler (lei das órbitas): Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, o qual ocupa um dos focos da elipse descrita.

• Segunda Lei de Kepler (lei das áreas): O segmento imaginário que une o centro do Sol e o centro do planeta (raio-vetor) carre áreas proporcionais aos intervalos de tempo dos percursos.

• Terceira Lei de Kepler (lei dos períodos): O quadrado do período de translação de cada planeta em torno do Sol é proporcional ao cubo do raio médio da respectiva órbita.

  Consideração importante: o raio médio de uma órbita é a média aritmética das distâncias do perigeu e da distância do apogeu entre o Sol e o planeta (afélio e periélio, respectivamente).

Einstein – Documentário completo (Dublado pt-br)

Olá a todos!

Aqui vai um vídeo do canal History Channel sobre a vida e obra de Einstein:

Vocês podem assistir diretamente no youtube por este link.

Discos de freio incandescentes

Quem gosta e acompanha automobilismo já deve ter percebido que os discos de freio nos carros de corrida ficam incandescentes após uma freada muito forte.

Mas o que acontece ali para este fenômeno ser observado?

Basicamente, neste tipo de evento há alguns princípios físicos acontecendo. Entre eles, os mais importantes são:

• Radiação térmica;
• Força de Atrito;
• Transformação de energia;
• Calor;

Radiação Térmica

A radiação térmica (também chamada de irradiação térmica) é uma característica comum a todos os corpos que possuem energia térmica e é devido ao corpo possuir temperatura. Ela é composta por ondas eletromagnéticas.

Todo corpo troca calor com o meio, emitindo e absorvendo energia. Quando um corpo está mais quente que o meio, ele irá irradiar mais do que absorver, até atingir o equilíbrio térmico – que acontecerá quando ambos (o corpo e o ambiente) possuírem a mesma temperatura e, consequentemente, irão trocar a mesma quantidade de radiação térmica.

Consequência dessa emissão é que a matéria em estado sólido ou líquido emite um espectro contínuo de radiação, sendo praticamente independente do material que é constituída, mas proporcional à temperatura.

A seguir temos uma imagem de um espectro de radiação eletromagnética:

 

O olho humano é capaz de perceber ondas eletromagnéticas de comprimentos de onda – λ – na faixa de, aproximadamente, 400 [nm] a 700 [nm] (nanômetros, ou  10^-9m), o que corresponde às frequências entre  4,29 x 10¹⁴ [Hz] e   7,5 x 10¹⁴ [Hz].

Um corpo em temperaturas normais (ambiente) emite ondas eletromagnéticas em frequência bem abaixo do limite visível. Estas ondas ficam no infra-vermelho. Ou seja: a esta temperatura o corpo está emitindo ondas eletromagnéticas fora da faixa do visível (isto é, não está irradiando luz)

Quando há o aumento da temperatura de um corpo, ele pode começar a emitir luz (quando a emissão chega aos níveis do espectro visível ao olho humano).

Metais incandescentes emitem luz a partir de uma certa temperatura. Vemos as representações das cores e suas temperaturas na seguinte tabela:

Força de Atrito e Transformação de energia

O atrito está presente em nosso dia a dia. É ele que nos possibilita, por exemplo, segurarmos um copo.

No automobilismo ele é fundamental: Ele faz com que haja tração entre o pneu e o piso, acelerando e freando o veículo. O atrito é uma força dissipativa, ou seja, transformará energia mecânica em uma forma de energia não-mecânica.

Em nosso caso específico, vamos tratar dos freios de um carro de corrida. A frenagem irá transformar a energia cinética do veículo em energia térmica nos discos de freio.

Na hora requisitada, as pinças de freio pressionam a pastilha de freio contra o disco. O atrito gerará calor e, se houver energia suficiente, o disco irá brilhar incandescente.

Calor

Calor é energia térmica em trânsito. É a energia térmica que um corpo cede ou recebe. Essa troca de calor pode (caso haja diferença de temperatura) gerar variação da temperatura do corpo e/ou do meio.

Caso não haja mudança de fase, podemos calcular a variação de temperatura de um corpo, devido à variação de energia, sua massa e seu calor específico. Matematicamente temos que:

Onde:

• Q é a quantidade de energia (recebida se for positiva, negativa se for cedida);
• m é a massa do corpo que está recebendo a energia;
• c é o calor específico e depende do material;
• ΔT é a variação de temperatura.

Um exemplo prático de aplicação desta equação e destas teorias é o exemplo a seguir:

Um carro de corrida possui massa de 1280 [kg] e é dotado de quatro discos de freios fabricados com um composto de cerâmica e carbono (Calor específico de 480 [ J . kg ^-1 . °C ^-1 ] ) .

Ao final da reta, imediatamente antes da freada para uma curva, o veículo atinge a velocidade máxima de 288 [km/h]. Quando freado, o carro transforma toda a variação de energia cinética em energia térmica pelo atrito dos freios que, antes do início da freada, estavam pré-aquecidos a 260ºC.

Para melhorar a performance de freada, o carro possui um balanço de freio de 60-40 (60% da pressão de freio é na dianteira, 40% na traseira). As massas dos discos de freios são: 2,150 [kg] e 1,745[kg] para os discos dianteiros e traseiros, respectivamente.

Supondo que o carro esteja em trajetória retilínea na hora da freada e a velocidade de tomada da curva seja de 72 [km/h], calcule a temperatura final de cada disco de freio no momento em que o carro começa a fazer a curva  (suponha que, durante a freada, não haja tempo suficiente para que os discos de freio percam calor para o ambiente).
Qual é a cor que cada disco adquire?

 A ideia geral para este exercício é a seguinte: Toda a variação da energia cinética do veículo será transformada em energia térmica nos discos de freio, aumentando sua temperatura.
Para começar, anotamos os dados separados do texto (aproveito e coloco os dados com as unidades do SI*, quando necessário):

M_c = 1280 (massa do carro) [kg]

V_i = 288 (velocidade inicial) [km/h] = 80 [m/s]

V_f = 72 (velocidade final) [km/h] = 20 [m/s]

T_i = 260 (temperaturas iniciais) [ °C]

m_dd = 2,150 (massa dos discos dianteiros) [kg]

m_dt = 1,745 (massa dos discos traseiros) [kg]

c =  480 [ J . kg ^-1 . °C ^-1 ] )

T_fd = ? (temperatura final do disco dianteiro)

T_ft = ?  (temperatura final do disco traseiro)

Sabendo que a variação da Energia cinética do veículo é dada pela expressão:

E, sabendo também, que toda a energia cinética irá se transformar em calor, temos que:

Um ponto fundamental aqui é que temos 4 discos, separados 2 a 2 em relação a sua massa: os dois maiores (e mais pesados) ficam na parte dianteira do veículo, os dois mais leves na traseira. Também temos uma distribuição não-uniforme nas energias distribuidas entre os dois eixos: 60% da energia irá para o eixo dianteiro. Sendo assim, cada um dos dois discos dianteiros receberá 30% da energia, e cada disco traseiro 20%.

Assim, para cada um dos discos dianteiros temos:

Substituindo os valores, isolando a variável da temperatura final, obtemos o resultado:

Logo: T_fd = 930 [°C]

Similarmente podemos obter a temperatura de cada disco traseiro:

T_ft = 810 [°C]

Se observarmos a tabela de emissão acima, que relaciona uma temperatura a uma cor, podemos inferir que os freios dianteiros terão um brilho mais próximo do laranja, enquanto que os discos traseiros terão uma cor que se assemelha com “cereja claro”.

Agradecimento à colaboração dos físicos Marcos Guassi e Daniel Vieira Lopes.

Velocidades supersônicas

Dia 1º de julho de 2012 em um evento comemorativo na Esplanada dos Ministério em Brasília, aconteceu algo incomum: Caças voando rápido e baixo quebraram diversas janelas do Supremo Tribunal Federal.

Caso tenha problema para visualizar o vídeo, clique no link.

Mas o que aconteceu para que as janelas se quebrassem?

Primeiro, temos que entender a natureza do som. O som é um conjunto de ondas de pressão,  do tipo longitudinal, isto é: sua oscilação está na mesma direção que sua propagação. Ele é constituído por ondas mecânicas, assim sendo, necessita de um meio material para se propagar.

O som se propaga no ar a uma velocidade de 340 m/s (1 atm e 15º), o que equivale a 1224 km/h.

Imaginando uma fonte sonora se movendo, temos o seguinte diagrama indicando as frentes de onda:

Frentes de onda de uma fonte sonora se movendo.

A fonte sonora F se move com velocidade V_F na direção do eixo x. Podemos perceber que as frentes de onda são acumuladas à frente da fonte sonora, causando um aumento na pressão e, logo atrás, uma abrupta diminuição da pressão¹.

Obs.: As frentes aqui estão sendo mostradas em apenas duas dimensões para fins didáticos. Elas são, na verdade, frentes de ondas esféricas. Mas no caso de um avião (ou qualquer outra fonte sonora) viajando abaixo da velocidade do som, as frentes de onda sempre estarão sendo propagadas à frente da fonte.

Em casos de um voo na velocidade do som ou em velocidade supersônica, temos as seguintes representações:

Frentes de onda de uma fonte sonora se movendo.
As linhas tracejadas indicam as ondas de choque.

Pelo diagrama das frentes de onda em velocidades supersônicas é fácil perceber que na frente da fonte sonora (do avião, no caso do vídeo) há um acúmulo de ondas de pressão. Esse acúmulo faz com que seja criado um “bolsão” de ar, pois as ondas se superpõem e se acumulam em apenas uma posição.

Dependendo da altura de voo e velocidade da aeronave, é possível que este bolsão de ar seja forte o bastante para fazer com que os vidros abaixo não suportem a pressão, quebrando-se. E foi exatamente isso o que aconteceu no domingo, 1º de Julho, na Esplanada: Dois aviões a jato (Mirage 2000) estavam se apresentando, voando rápido e baixo. Quando passaram pelo prédio do STF, a onda de choque foi tão grande que estilhaçou os vidros do prédio.

Número de Mach

Uma forma de relacionarmos a velocidade de um veículo com a velocidades das ondas sonoras num meio é dada por uma razão, chamada número de Mach. Este nome foi dado em homenagem ao austríaco Ernst Mach, que foi o primeiro cientista a medir com precisão a velocidade do som no ar. Desta explicação temos que um avião voando a Mach 1 é o mesmo que dizer que ele está voando na velocidade do som.

Matematicamente, temos que:

Onde:

• S_s é o espaço percorrido pelo som
• S_f é o espaço percorrido pela fonte
• V_s é a velocidade do som no meio
• V_f é a velocidade da fonte
• t é o tempo percorrido
• θ é o ângulo do cone Mach

Curiosidades:

• Velocidades acima de Mach 1 são chamadas supersônicas. As velocidades acima de Mach 5 têm o nome de Hipersônicas.
• O primeiro avião comercial a realizar vôo supersônico foi o russo Tupolev TU-144, aproximadamente um ano antes de seu concorrente direto, o famoso Concorde.
• Logo antes de atingir (e ultrapassar) Mach 1, aviões podem enfrentar certa instabilidade durante o voo por conta do acúmulo de ar na parte dianteira do avião e nas partes frontais das partes aerodinâmicas. Por isso a importância de jatos supersônicos ultrapassarem essa velocidade com certa rapidez, evitando ficar no limiar de velocidades sub e supersônicas.
• ¹ Por conta da variação de pressão que, em determinadas condições de temperatura e umidade, podemos observar a formação de um cone de condensação, como nas imagens abaixo:

Looping!

Olá a todos!

Assistam o vídeo abaixo:

Não conseguiu assistir o vídeo pelo blog? Assita diretamente no youtube, clicando no link:

http://www.youtube.com/watch?v=e0Y8tmRYYiA

Incrível, não?

O que é um loop ?  Loop  é uma palavra inglesa que significa laço. No português, adotamos esta palavra para nos referirmos a volta, repetição, ou trajetória em forma de laço.

No vídeo do post, os carros executam um looping  vertical.

Mas como os carros conseguiram esta façanha?

Dominando um pouco a física, podemos resolver este problema. Acompanhem:

Considerações iniciais para resolução:

• A ideia geral neste caso é: o carro deve manter-se em contato com o piso durante todo o trajeto para que ele o complete e não caia do looping.
• Para isso, a velocidade  do automóvel na parte superior do looping (que é a parte mais crítica) deve ser suficiente para que os pneus fiquem na iminência de se desligarem do piso.

Esboçando um diagrama de forças:

Do diagrama podemos assumir que a força Centrípeta é a resultante da soma das forças Peso e Normal.

F_cp = P + N

Na iminência da normal ser um valor pequeno o bastante para ser desprezível (ou seja, quando o veículo está no limite de se soltar da estrutura), temos a velocidade mínima que o automóvel pode ter para que não caia, sendo assim:

F_cp = P

Lembrando que a aceleração centrípeta é dada por velocidade ao quadrado sobre o raio:

Assim obtemos a velocidade mínima (em função do Raio da estrutura e gravidade local) para que o carro continue seu percurso pelo looping sem se desgarrar e cair.

Consideração final:

• A velocidade mínima independe da massa dos veículos;

Se quisermos estimar a velocidade mínima que os dois veículos tinham no início do looping podemos calcular da seguinte forma:

Primeiro precisamos saber qual é a altura da estrutura do looping. Para tal, consegui esta imagem de um vídeo do site que estava promovendo o evento:

A indicação da altura (ou seja, o diâmetro do looping) é de 66 pés e 2 polegadas. Convertendo esta altura para o sistema métrico temos que a altura é, aproximadamente, H=20,16 metros. Sendo assim, o raio R é igual a 10,08 metros. Assumindo a gravidade com o valor de 9,8 m/s², temos que a velocidade mínima é dada por:

Supondo que a toda a velocidade perdida durante a subida no looping tenha se transformada totalmente em Energia Potencial Gravitacional, podemos estimar qual é a velocidade dos automóveis no início da subida (para tal é necessário desconsiderarmos a energia necessária para girar o carro em torno do eixo do looping*):

Desta forma, se somarmos a velocidade mínima na parte mais alta com a variação da velocidade do veículo durante a subida, obtemos o resultado da velocidade mínima que o veículo deve ter na entrada do looping:

Uma velocidade fácil de atingir com um veículo automotor.

* O propósito do exercício é a explicação para alunos de ensino médio, por isso foi desconsiderado quaisquer cálculos envolvendo a parte quantitativa de momento angular.

Exercício resolvido – Centro de Massa

A placa circular, homogênea e de espessura constante, tem raio R e possui um furo circular de raio r. Determine, em função de r e  R,as coordenadas do centro de massa da placa.

Considerações:

• A placa é de densidade uniforme ρ e espessura constante e;
• O furo no disco maior será considerado como um corpo de massa faltante, ou seja, uma indicação de massa negativa;

Para o eixo X:

Como o disco maior está com o centro na origem e o disco menor (furo) está na distância de R/2 da origem:

Substituindo todos os valores (lembre-se que a indicação de ‘m₂‘ é “negativa”):

Para o eixo Y:

Por simetria do desenho, temos que Y_cm = 0. (Se dobrarmos a imagem no eixo X, as partes do desenho se sobrepõem.)

Assim temos a solução do centro de massa da figura: