SATÉLITES, órbitas e velocidade de escape

Satélites são corpos celestes, podendo ser naturais ou não. Em ambos os casos, eles obedecem às mesmas regras para se manterem em órbita.

Satélites são fundamentais. Os naturais (no nosso caso possuímos apenas a Lua) podem interferir no comportamento dinâmico do clima de um planeta, movimentação de massa de gases e líquidos etc.

A Lua é responsável por formar, na Terra, os ciclos das marés em nossos oceanos.

Os lançados pelo homem são de extrema importância para o atual ritmo de vida ocidental: Controlam telecomunicações, transferência digital de dados, fornecem informações topográficas, GPS e uma infinidade de outras aplicações.

Um objeto em órbita significa que ele, ao mesmo tempo que “cai” no corpo celeste o qual está orbitando, se desloca para frente. Dependendo de uma relação que envolva a distância entre o objeto e o corpo e a velocidade do objeto. Essa trajetória em volta do corpo celeste se manterá e o corpo terá um movimento perpétuo de queda e deslocamento que se compensam.

As principais leis que abrangem o estudo dos satélites são:

• Conservação de Energia;
• As 3 Leis de Newton da dinâmica (Inércia, Força e a Lei da Ação e Reação);
• Lei de Newton da Gravitação;
• Leis de Kepler (Órbitas, Áreas e Períodos);

A Conservação da energia nos diz que: a quantidade total da energia de um sistema isolado permanece constate. Ou seja: em um sistema isolado a energia pode ser transferida, ou transformada, para outra forma, dentro do mesmo sistema.

As três Leis de Newton da dinâmica nos diz que:

1. Um corpo livre da ação de forças estará em repouso ou em movimento retilíneo uniforme
2. Um corpo sofrerá uma aceleração diretamente proporcional à Força resultante aplicado sobre ele, na direção e sentido desta força. (F = m . a)
3. Toda ação em um corpo gera uma reação  com mesma intensidade, mas em sentido oposto.

A Lei da Gravitação universal de Newton nos diz que:

Onde G é a constante de gravitação universal.

Sabendo que:

Podemos igualar as expressões da Segunda Lei de Newton com a Lei da Gravitação de Newton e obtermos g, que é a aceleração da gravidade de um corpo de massa ‘M’ exerce sobre um corpo de massa ‘m’:

Órbitas

As órbitas dos satélites em volta dos planetas são circulares, ou elípticas.

• Nas órbitas circulares, a distância entre o satélite e o planeta se mantém constantes.
• Nas órbitas elípticas, a distância entre o satélite e o planeta varia.

Se observarmos as forças atuantes num diagrama de forças, vamos perceber que a interação gravitacional (a Força gravitacional) será responsável pela aceleração centrípeta, pois é a única força que atua no satélite:

Se a_cp = g, podemos obter duas expressões: Uma para a velocidade, e outra para o período do satélite:

Velocidade:

Sabendo que:

Igualamos as duas e obtemos:

Onde V é a velocidade que o satélite deve possuir para permanecer em órbita.

Período:

Também podemos obter uma expressão para o período, ou seja, o tempo que o satélite irá precisar para dar uma volta em torno do planeta.

Lembrando que as expressões que definem a aceleração centrípeta e a velocidade angular são:

Inserimos os valores de ω dentro da equação da aceleração centrípeta:

Igualando esta expressão da aceleração centrípeta com a expressão da aceleração da gravidade g:

Esta expressão do período T é a terceira Lei de Kepler. Onde K é apenas uma constante, que depende apenas do corpo de massa M, ao qual os outros objetos orbitam.

Energia cinética e Energia potencial gravitacional:

A expressão que nos diz a energia cinética de um corpo é:

Substituindo o valor para V, já encontrado acima:

Esta é a Energia cinética de um corpo, com relação às massas deste, a massa do planeta.

A energia potencial gravitacional é dada pela seguinte expressão:

E, por definição, para todos os pontos que possuem interação gravitacional, haverá uma energia potencial gravitacional maior do que aquela encontrada no infinito. Por isso a necessidade de um sinal negativo na expressão acima. O limite mostrado acima quer dizer que no infinito não há energia potencial gravitacional.

A energia mecânica do sistema é dada por:

Pontos importantes:

• A velocidade de órbita V e o período T só dependem da massa M do planeta e da distância r (raio do planeta mais altura do satélite, isto é, a velocidade e o período não dependem da massa do satélite;
• Para o sistema solar, substitui-se o M pela massa do Sol e r pelo raio da órbita de cada planeta (a constante K, no sistema solar, é a mesma para todos os planetas).

Teste de conhecimento:

Calcular a que altura um satélite deve ser lançado para que ele seja um satélite geoestacionário sobre a linha do equador(isto é: fique parado em relação a um ponto no solo). Dados:

• Raio da Terra: 6.378 [km]
• Massa da Terra: 5,97 . 10 ²⁴ kg
• Constante de Gravitação Universal G: 6,67 . 10 ^{– 11} m³ kg ^-1 s ^-2
• Rotação da Terra*: 23h 56 min e 4s

*Este é o tempo preciso da rotação da Terra.

Primeiro transformamos o tempo de rotação da Terra para segundos:

Pela expressão do período, podemos isolar o raio r da órbita circular:

Substituindo os valores e resolvendo:

Mas aqui estamos calculando a distância em relação ao centro do planeta Terra. Considerando que h é a altura do satélite e R é o raio da Terra:

Esta é a altura de uma órbita geoestacionária, ou seja: o satélite irá acompanhar um ponto fixo na superfície da Terra, caso sua velocidade tenha a mesma direção e sentido de rotação do planeta.

Velocidade de escape e velocidade de satélite rasante:

É normal pensarmos que ao atirarmos um projétil para cima este irá perder velocidade ao ganhar altura até o momento que a velocidade de subida se anule e o objeto comece a cair.

Mas há uma velocidade de lançamento de um objeto, que fará com que este consiga vencer a atração gravitacional exercida pelo planeta. Esta velocidade é chamada de velocidade de escape (na figura acima representada pela linha azul).

Para sabermos esta velocidade devemos considerar o sistema:

• Objeto na Terra:

• Objeto no infinito:

(ou seja, toda a energia cinética é utilizada para alcançar o “infinito”)

Portanto:

Substituindo os valores de M e R para os correspondentes do planeta Terra e utilizando o valor padrão de G, temos a velocidade de escape de um corpo, ou seja: se um objeto for lançado com a velocidade inicial de 11,3 [km/s], este objeto será lançado ao espaço e não retornará por conta da gravidade do planeta.

Agora se considerarmos um satélite (ou um projétil qualquer) viajando baixo, bem próximo à superfície da Terra, podemos calcular a velocidade necessária para este projétil circular o planeta sem tocar o solo (considerando que a altitude constante):

Substituindo os valores encontramos que a velocidade necessária para o voo rasante é de, aproximadamente, 8 km/s.

Leis de Kepler (enunciados):

• Primeira Lei de Kepler (lei das órbitas): Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, o qual ocupa um dos focos da elipse descrita.

• Segunda Lei de Kepler (lei das áreas): O segmento imaginário que une o centro do Sol e o centro do planeta (raio-vetor) carre áreas proporcionais aos intervalos de tempo dos percursos.

• Terceira Lei de Kepler (lei dos períodos): O quadrado do período de translação de cada planeta em torno do Sol é proporcional ao cubo do raio médio da respectiva órbita.

  Consideração importante: o raio médio de uma órbita é a média aritmética das distâncias do perigeu e da distância do apogeu entre o Sol e o planeta (afélio e periélio, respectivamente).